Turev Alma - Ders Notu Konu Anlatimi
TÜREV ALMA
1. Türevin Tanımı 1
a, b birer reel sayı olmak üzere,
fonksiyonu verilmiş olsun.
limiti bir reel sayı ise, bu limit değerine f fonksiyonunun x0 daki türevi denir.
Ve f '(x0), Df(x0) ya da 
ile gösterilir. Buna göre,
x – x0 = h alınırsa x ® x0 için h ® 0 olur. Bu durumda, tanım olarak,
eşitliği de yazılabilir.
2. Türevin Tanımı 2
fonksiyonu için,
limiti varsa bu limite f fonksiyonunun x = a daki sağdan türevi denir. Ve
biçiminde gösterilir. Benzer şekilde,
limiti varsa bu limite f fonksiyonunun x = a daki soldan türevi denir. Ve
biçiminde gösterilir.
f fonksiyonunun, x = a daki sağdan türevi soldan türevine eşit ise f nin x = a da türevi vardır (ve bulunan bu limit değerleri, o noktadaki türeve eşittir). Aksi takdirde türevi yoktur.
Sonuç
|
1. f '(a+) = f'(a–) ise f fonksiyonunun x = a da türevi vardır. 2. f fonksiyonunun x = a da türevi varsa f fonksiyonu x = a da süreklidir. 3. f fonksiyonu, x = a da sürekli olduğu hâlde, o noktada türeve sahip olmayabilir. 4. f fonksiyonu x = a da sürekli değilse türevli de değildir. |
Uyarı
|
Bir fonksiyonun, bir noktada türevinin olması için gerek koşul, o noktada sürekliliktir. Ancak bu, o noktada türevin olması için yeterli değildir. |
TÜREV ALMA KURALLARI
1. xn nin Türevi
2. c Sabit Sayısının Türevi
3. c × f(x) in Türevi
4. Toplamın Türevi
5. Farkın Türevi
6. Çarpımın Türevi
7. Bölümün Türevi
Sonuç
|
|
8. Mutlak Değer Fonksiyonunun Türevi
verilsin. 
olmak üzere,
f(a) = 0 ise fonksiyonun bu noktada türevi olabilir ya da olmayabilir. Bunu araştırmak için fonksiyonun sağdan ve soldan türevlerine bakılır. Sağdan ve soldan türevler eşit ise fonksiyon bu noktada türevlidir. Aksi hâlde türevli değildir.
Sonuç
|
Mutlak değer fonksiyonu tek katlı köklerde köşe (uç) oluşturur. Köşe (uç) noktalarda türev yoktur. Çift katlı köklerde köşe (uç) oluşmaz. Bunun için, çift katlı köklerde türev vardır ve sıfırdır. |
9. İşaret Fonksiyonunun Türevi
10. Tam Değer Fonksiyonunun Türevi
11. Bileşke Fonksiyonun Türevi
Uyarı
|
f '(2) gösterimi [f(2)]' gösterimi ile karıştırılmamalıdır. f '(2) ¹ [f(2)]' dir.
Çünkü f '(2) gösterimi, fonksiyonun türevinin, yani f '(x) in x = 2 için değeridir. [f(2)]' gösterimi, fonksiyonun x = 2 için değerinin (Yani, bir reel sayının) türevidir. [f(2)]' = 0 dır. |
Kural
|
|
12. Köklü Fonksiyonun Türevi
Kural
|
|
13. Logaritmik Fonksiyonun Türevi
Kural
|
|
14. Üstel Fonksiyonun Türevi
Kural
|
|
15. Parametrik Olarak Verilen Fonksiyonların Türevi
fonksiyonu 
şeklinde belirtilebileceği gibi, g ve h iki fonksiyon olmak üzere
y = g(t)
x = h(t)
denklemleri ile de belirtilebilir. Burada t ye parametre denir.
Bazen y = g(t) ve x = h(t) denklemlerinden t yok edilerek y = f(x) şeklinde bir denklem elde edilebilir. Ancak bu her zaman mümkün olmayabilir.
Bu durumda,
y = g(t), x = h(t) parametrik denklemleriyle verilen
y = f(x) fonksiyonunun türevi aşağıda verilen kural yardımıyla bulunur.
16. Kapalı Fonksiyonların Türevi
F(x, y) = 0 şeklindeki fonksiyonlara kapalı fonksiyon denir.
x in değişken, x in dışında kalanların sabit gibi düşünülmesiyle alınan türevi Fx ile ve y nin değişken, y nin dışında kalanların sabit gibi düşünülmesiyle alınan türevi Fy ile gösterelim.
Buna göre, kapalı fonksiyonun türevini şu kural yardımıyla buluruz:
17. Trigonometrik Fonksiyonların Türevi
18. Ardışık Türevler
y = f(x) in türevi 
olmak üzere,
f'(x) in türevi olan 
ifadesine
y = f(x) in ikinci mertebeden türevi denir.
Benzer şekilde, 
ifadesine de y = f(x) in n.
mertebeden türevi denir.
Kural
|
|
19. Ters Fonksiyonların Türevi
f: A ® B, birebir ve örten bir fonksiyon ise f(x) in tersi olan f–1(x) fonksiyonu bulunur. Sonra türev alınır. Bunun zor olduğu durumlarda ters fonksiyonun türevi şöyle alınır.
Kural
|
Ters trigonometrik fonksiyonların türevinin bulunmasında şu formüller kullanılabilir.
|
