Limit ve Sureklilik - Ders Notu Konu Anlatimi
LİMİT ve SÜREKLİLİK
I. LİMİT
A. SOLDAN YAKLAŞMA, SAĞDAN YAKLAŞMA
x değişkeni a ya, a dan küçük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşmaya soldan yaklaşma denir ve 
biçiminde gösterilir.
x değişkeni a ya, a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşmaya sağdan yaklaşma denir ve 
biçiminde gösterilir.
B. LİMİT KAVRAMI
Limit kavramını bir fonksiyonun grafiği üzerinde açıklayalım:
Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu için, apsisleri; x = a nın solunda yer alan ve giderek a ya yaklaşan A(x1, y4) , B(x2, y3) , C(x3, y2) , D(x4, y1), ... noktalarını göz önüne alalım:
Bu noktaların apsisleri olan x1, x2, x3, x4, ... giderek a ya yaklaşırken, ordinatları
f(x1) = y4, f(x2) = y3, f(x3) = y2, f(x4) = y1, ... giderek b ye yaklaşır.
Bu durumu; x, a ya soldan yaklaşıyorken f(x) b ye yaklaşır şeklinde ifade edebiliriz. Bu durumda,
f(x) in x = a daki soldan limiti b dir denir. Ve
şeklinde gösterilir.
Yukarıdakine benzer şekilde, apsisleri x = a nın sağında yer alan ve giderek a ya yaklaşan
E(x8, y5) , F(x7, y6) , G(x6, y7) , H(x5, y8) , ... noktalarını göz önüne alalım.
Bu noktaların apsisleri olan x8, x7 , x6 , x5 , ... giderek a ya yaklaşırken, ordinatlar f(x8) = y5 , f(x7) = y6 , f(x6) = y7 , f(x5) = y8 , ... giderek d ye yaklaşır.
Bu durumu “x, a ya sağdan yaklaşıyorken f(x) d ye yaklaşır.” şeklinde ifade edebiliriz.
Bu durumda; f(x) in x = a daki sağdan limiti d dir denir. Ve
biçiminde gösterilir.
Kural
|
f(x) fonksiyonunun x = a daki soldan limiti sağdan limitine eşit ise fonksiyonun x = a da limiti vardır ve x in a noktasındaki limiti L ise, biçiminde gösterilir. x = a daki sağ limit ve sol limit değeri, fonksiyonun x = a daki limitidir. f(x) fonksiyonunun x = a daki soldan limiti sağdan limitine eşit değil ise fonksiyonun x = a da limiti yoktur. |
C. UÇ NOKTALARDAKİ LİMİT
f fonksiyonu [a, b) aralığından [c, d) aralığına tanımlı olduğu için, uç noktalardaki limitleri araştırılırken, sadece tanımlı olduğu tarafın limitine bakılarak sonuca gidilir.
Fonksiyonun bir noktada limitinin olması için, o noktada tanımlı olması zorunlu değildir. Buna göre,
Kural
|
|
D. LİMİTLE İLGİLİ ÖZELLİKLER
Özellik
|
f ve g , x = a da limitleri olan iki fonksiyon olsun.
|
Özellik
|
|
Özellik
|
|
Özellik
|
|
Özellik
|
|
Özellik
|
|
E. PARÇALI FONKSİYONUN LİMİTİ
Özellik
|
|
F. İŞARET FONKSİYONUNUN LİMİTİ
Özellik
|
f(x) = sgn [g(x)] olsun.
Bu sonuç genellikle doğrudur. Fakat az da olsa bu sonuca uymayan örnekler vardır. Söz gelimi, f(x) = sgn(x2) fonksiyonunun x = 0 da limiti vardır ve 1 dir. |
G. TAM DEĞER FONKSİYONUNUN LİMİTİ
Özellik
|
Bu sonuç genellikle doğrudur. Fakat az da olsa bu sonuca uymayan örnekler vardır. Söz gelimi, |
fonksiyonunun x = 0 da limiti vardır.
H. 
NİN x = a DAKİ LİMİTİ
Özellik
|
|
I. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN LİMİTİ
1. sinx in ve cosx in limiti
sinx ve cosx fonksiyonu bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için,
olur.
2. tanx in limiti
tanx fonksiyonu 
olmak üzere,
koşuluna uyan bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için,
olur.
Sonuç
|
|
3. cotx in limiti
cotx fonksiyonu 
olmak üzere, 
koşuluna uyan bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için,
olur.
Sonuç
|
|
J. BELİRSİZLİK DURUMLARI
belirsizlikleriyle karşılaştığımızda aşağıda verilen yöntemler kullanılarak limit hesaplanır. Bu limitler türevin içinde vereceğimiz L’Hospital kuralıyla da hesaplanabilir.
Kural
|
|
Kural
|
m, n Î N olmak üzere,
olur. |
Kural
|
a > 0 olmak üzere, ¥ – ¥ belirsizliği olan limitler,
kuralını kullanarak hesaplanabilir. |
Kural
|
Buna göre, 0 × ¥ belirsizliği |
veya 
belirsizliğine dönüştürülerek sonuca gidilir.
Kural
|
|
II. SÜREKLİLİK
Kural
|
f(x) fonksiyonu apsisi x = a olan noktada süreklidir. |
Sonuç
|
y = f(x) fonksiyonu x = a da sürekli ise, |
Uyarı
|
f(x) fonksiyonu apsisi x = a olan noktada sürekli değil ise, süreksizdir. |
Kural
|
1. Bir fonksiyon bir noktada tanımsız ise, o noktada süreksizdir. 2. Bir fonksiyon bir noktada limitsiz ise, o noktada süreksizdir. 3. Bir fonksiyon bir noktada tanımlı ve limitli ancak, tanım değeri limit değerinden farklı ise, bu noktada süreksizdir. |
